ALJABAR(MM)

Rangkuman Materi Aljabar

 

1. Bentuk Dasar Aljabar
   Aljabar terdiri dari koefisien, variabel dan konstanta, dan setiap suku dipisahkan dengan tanda + atau −.
   
   Berdasarkan jumlah suku, bentuk aljabar dapat dibagi menjadi:
   

   • Suku Tunggal (Satu Suku)
     Contoh-1:
     2x² memiliki variabel x² dan koefisien x² adalah 2.
     
     Contoh-2:
     −xy memiliki variabel xy dan koefisien xy adalah −1
     
   • Binom (Dua Suku)
     Contoh-1:
     x²−2xy memiliki variabel x² dan xy, dan koefisien x²=1, xy=−2.
     
     Contoh-2:
     x+3 memiliki variabel x, koefisien x adalah 1 dan konstanta 3
     
   • Trinom (Tiga Suku)
     

     Contoh-1	:	x2+y2−xy
     Variabel	:	x2,y2,xy
     Koefisien	:	x2=1 y2=1 xy=−1

      

     Contoh-2	:	a2+2ab+1
     Variabel	:	a2, ab
     Koefisien	:	a2=1 ab=2

     
     
   • Polinom (Banyak Suku)
     Contoh:
     a²+b²+c²+2ab−2ac+2bc+3
     Variabel: a², b², c², ab, ac, bc
     Kofisien: a²=1, b²=1, c²=1, ab=2, ac=−2, bc=2
     Konstanta: 3
     
   • Suku-suku sejenis
     Suku-suku yang memiliki variabel yang sama
     Contoh:
     3a² & 4a²
     x²y & 3x²y
     
2. Operasi pada Bentuk Aljabar
   1. Penjumlahan & Pengurangan Suku-suku Sejenis
      • Contoh-1:
        =5x+4y−3x+2y−10+8
        memiliki suku sejenis:
        5x & −3x , 4y & 2y , −10 & 8
        sehingga dapat dihitung seperti:
        =5x−3x+4y+2y−10+8
        =2x+6y−2
        
      • Contoh-2:
        =3x²y+2xy²−x²y+5xy²+7
        memiliki suku sejenis:
        3x²y & −x²y , 2xy² & 5xy²
        sehingga dapat dihitung seperti:
        =3x²y−x²y+2xy²+5xy²+7
        =2x²+7xy²+7
        
      • Contoh-3:
        Kurangkan 2x²−x dari 4x²−5x!
        Kurangkan a dari b=b−a
        Kurangkan b dari a=a−b
        maka:
        =4x²−5x−(2x²−x)
        harus digunakan tanda kurung karena lebih dari 1 suku
        =4x²−5x−2x²+x
        =2x²−4x
        
   2. Perkalian
      1. Suku Tunggal
         • Pada perkalian variabel sejenis, pangkatnya dijumlahkan. a^m×aⁿ=a^m+n
         
         Contoh-1:
         
         =2x⋅3xy
         
         Angka dikali dengan angka, variabel dikali variabel
         =6x¹⁺¹⋅y
         =6x²y
         
         Contoh-2:
         
         =3a⋅4b²
         
         =12 a b²
         
      2. Distributif
         
         • a (b+c)=ab+ac
         • a (b−c)=ab−ac
         • =(a+b) (c+d)
           =ac+ad+bc+bd
         • =(a+b) (c−d)
           =ac−ad+bc−bd
   3. Pembagian
      • Pada pembagian variabel sejenis, pangkatnya dikurangkan. a^m:aⁿ=a^m−n
      
      

      Contoh-1:
      

      8x²y

      2x

      
      

      ⁴8x²y

      2x

      =4xy

       

      Contoh-2:
      

      9x² y³ z

      3x³ y z²

      
      

      ³9x² y³ z

      3x³ y z²

      =

      3y²

      x z

      
      
   4. Perpangkatan
      1. Contoh-1:
         =(2 x y³ z)²
         =2² x² (y³)² z²
         =4 x² y⁶ z²
         
      2. Contoh-2:
         =(a + b)²
         
         =(a+b) (a+b)
         
         
         =a²+ab+ab+b²
         
         =a²+2ab+b²
         
      3. Contoh-3:
         =(a - b)²
         
         =(a−b) (a−b)
         
         
         =a²−ab−ab+b²
         
         =a²−2ab+b²
         
3. KPK & FPB Bentuk Aljabar
   • FPB (Faktor Persekutuan Terbesar): Faktor yang sama dengan pangkat terkecil
   • KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil): Semua faktor dan pangkat terbesar

   
   

   Contoh-1:
   Tentukan FPB & KPK dari 12 p² q⁴ dan 3 p q³!
   

   12p2q4	=	22⋅	3⋅	p2⋅	q4
   3pq3	=		3⋅	p⋅	q3
   FPB	=		3⋅	p⋅	q3
   KPK	=	22⋅	3⋅	p2⋅	q4
   	=		12⋅	p2⋅	q4

    

   Contoh-2:
   Tentukan FPB & KPK dari 9 x y² z³ dan 12 x² y³ z !
   

   9xy2z3	=		32⋅	x⋅	y2⋅	z3
   12x2y3z	=	22⋅	3⋅	x2⋅	y3⋅	z
   FPB	=		3⋅	x⋅	y2⋅	z
   KPK	=	22⋅	32⋅	x2⋅	y3⋅	z3
   	=		36⋅	x2⋅	y3⋅	z3

4. Pecahan Bentuk Aljabar
   1. Penjumlahan & Pengurangan
      Jika penyebut dari pecahan-pecahan tersebut telah sama, maka tinggal menjumlahkan / mengurangkan pembilang dari pecahan tersebut.
      
      a

      c

      ±

      b

      c

      =

      a±b

      c
      Jika penyebut dari pecahan-pecahan tersebut tidak sama, maka samakan penyebut dari pecahan-pecahan tersebut (KPK dari penyebut pecahan-pecahan tersebut) lalu tinggal menjumlahkan / mengurangkan pembilang dari pecahan tersebut.
      
      a

      b

      ±

      c

      d

      =

      ad±bc

      bd
      Contoh-1:
      =

      2

      x

      +

      4

      x

      
      =

      2+4

      x

      =

      6

      x

       

      Contoh-2:
      =

      x

      4

      +

      y

      2

      
      =

      x

      4

      +

      y⋅2

      2⋅2

      
      KPK 4 & 2 ⇒ 4
      =

      x+2y

      4

       

      Contoh-3:
      =

      3

      x

      −

      3

      y

      
      =

      3⋅y

      x⋅y

      −

      3⋅x

      y⋅x

      
      KPK x & y ⇒ xy
      =

      3y−3x

      xy

       

      Contoh-4:
      =

      2

      a+b

      +

      3

      a−b

      
      =

      2⋅(a−b)

      (a+b)⋅(a−b)

      +

      3⋅(a+b)

      (a−b)⋅(a+b)

      
      KPK (a+b) & (a−b) ⇒ (a+b)(a−b)
      =

      2(a−b)+3(a+b)

      (a+b)(a−b)

      
      =

      2a−2b+3a+3b

      (a+b)(a−b)

      
      =

      5a+b

      (a+b)(a−b)

       

      Contoh-5:
      =

      x

      2y

      +

      3

      x

      −

      2

      z

      
      =

      x⋅xz

      2y⋅xz

      +

      3⋅2yz

      x⋅2yz

      −

      2⋅2xy

      z⋅2xy

      
      KPK 2y, x, & z ⇒ 2xyz
      =

      x²z+6yz−4xy

      2xyz
   2. Perkalian & Pembagian
      Dalam perkalian pecahan, pembilang dikali dengan pembilang dan penyebut dikalikan dengan penyebut.
      
      a

      b

      ×

      c

      d

      =

      a×c

      b×d
      Dalam pembagian pecahan, tanda bagi dibalik menjadi tanda kali dan pecahan kedua dibalik sehingga menjadi seperti operasi perkalian pecahan.
      
      a

      b

      :

      c

      d

      =

      a

      b

      ×

      d

      c
      Contoh-1:
      =

      6a

      5b

      ×

      2b²

      3a²

      
      =

      ²6a×2b²

      5b×3a²

      =

      4b

      5a

       

      Contoh-2:
      =

      a

      a+b

      ×

      2a+2b

      b²

      
      =

      a⋅(2a+2b)

      (a+b)⋅b²

      
      =

      a⋅2(a+b)

      (a+b)⋅b²

      =

      2a

      b²

       

      Contoh-3:
      =

      3a

      4b

      :

      9

      2b

      
      =

      3a

      24b

      ×

      2b

      39

      =

      a

      6b

       

      Contoh-4:
      =

      4a²

      −b

      :

      −2a²

      6b

      :

      3a²

      b

      
      Kerjakan yang didalam kurung terlebih dahulu!
      =

      24a²

      −b

      ×

      6b

      −2a²

      :

      3a²

      b

      
      =12:

      3a²

      b

      
      =412×

      b

      3a²

      =

      4b

      a²
   3. Pemangkatan Pecahan
      Memenuhi prinsip pangkat pada bilangan bulat:
      
      a^m×aⁿ=a^m+n
      a^m:aⁿ=a^m−n
      NB: Setiap elemen dengan operasi perkalian dan pembagian yang terdapat di dalam kurung dipangkatkan.
      
      Contoh-1:
      =

      5abc

      3

      2

      
      =

      5²⋅a²⋅b²⋅c²

      3²

      
      =

      25a²b²c²

      9

       

      Contoh-2:
      =

      x+y

      x−y

      2

      
      =

      (x+y)²

      (x−y)²

      
      =

      (x+y)(x+y)

      (x−y)(x−y)

      
      =

      x²+xy+xy+y²

      x²−xy−xy+y²

      
      =

      x²+2xy+y²

      x²−2xy+y²

      
      (Pada operasi penjumlahan & pengurangan, tidak boleh dieliminasi layaknya perkalian & pembagian)